Primes dans une entreprise

D'après un sujet de bac.

Les cadres d’une entreprise ont reçu des primes différentes selon leur ancienneté. Six d’entre eux comparent le montant de leur prime. Leurs observations sont reportées dans le tableau ci-dessous, où l’ancienneté \(x\) est exprimée en années et la prime \(p\) en milliers d'euros.

1. Pour cette série de données, la calculatrice leur propose la droite d’ajustement \(\Delta\) d’équation \(y = 0{,}13x + 1{,}42\). On ne demande aucune représentation graphique pour cette première question. En utilisant l’équation de la droite \(\Delta\), calculer :
    a. quelle prime recevrait un cadre ayant une ancienneté de \(14\) ans ;
    b. quelle ancienneté conduirait à l’obtention d’une prime de \(1~550\) euros.
2. Peu satisfaits de l’étude précédente, les six cadres décident de poser \(q = 2^p\) (où \(p\) représente la prime en milliers d'euros) et d’arrondir au dixième. Ils obtiennent alors le tableau suivant.

    a. Vérifier les calculs ci-dessus et dire, pour chaque résultat, s’il correspond à un arrondi par excès ou par défaut.
    b. Construire le nuage de points de coordonnées \((x~; q)\) dans un repère orthogonal. Prendre \(0{,}5\) cm par unité en abscisses et \(1\) cm par unité en ordonnées.
    c. Le point moyen d'une série statistique à deux variables est une manière de représenter la « position centrale » ou « moyenne » des données dans un plan. Son abscisse est la moyenne des abscisses des points. Son ordonnée est la moyenne des ordonnées des points. Calculer les coordonnées du point moyen \(\text{G}_1\) des trois premiers points et du point moyen \(\text{G}_2\) des trois derniers.
    d. Tracer la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\). Montrer, en arrondissant les coefficients au centième, que la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\) a pour équation \(y = 0{,}84x +0{,}40\).
    e. On utilise la droite \((\text{G}_1\text{G}_2)\) comme droite d’ajustement. À quelle ancienneté correspond alors une prime de \(1~550\) euros ? Le résultat obtenu est-il plus plausible que celui de la question 1. b. ?